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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
10.
Encontrar una fórmula y su dominio para cada una de las siguientes funciones.
b) El área de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado.
b) El área de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado.
Respuesta
Hacemos un esquemita del triángulo equilatero. Por definición, todos sus lados miden lo mismo (lo llamamos $x$) y los ángulos también son todos iguales, de $60°$. A la altura del triángulo la llamamos $h$ y por ahora es una incógnita.

El área de un triángulo está dada por $A = \frac{\text{base x altura}}{2} $
Es decir, en el contexto de nuestro problema, el área del triángulo sale de plantear:
$A = \frac{x \cdot h}{2} $
Ahora tenemos que poder escribir la altura $h$ en función de $x$.
Para eso podemos usar un poco de trigonometría. Si partimos el triángulo equilatero en dos, nos podemos construir este triángulo rectángulo:

Si nos acordamos que $\tan = \frac{\text{opuesto}}{ \text{adyacente}}$
(Si, estoy usando SOHCAHTOA 😅)
entonces nos quedaría...
$\tan(60°) = \frac{h}{\frac{x}{2}}$
$\frac{\tan(60°)}{2} \cdot x = h $
Con la calculadora en grados, si haces la cuenta $\frac{\tan(60°)}{2}$, te va a dar un número con muuuchos decimales. Con un poco de práctica, especialmente después que veamos trigonométricas, lo vas a reconocer y vas a ver que es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (queda mucho más lindo escrito así jaja) Entonces $h$ resultó:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x $
Perfecto, ya tenemos $h$ escrito en términos de $x$. Volvemos a nuestra fórmula del área y nos queda:
$A = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$
Y ahora, para determinar el dominio de la función, acordate que por cómo definimos el problema, $x$ necesariamente tiene que ser mayor que cero y después nada lo detiene, podría ser tan grande como quiera (ponele jaja). Entonces el dominio de nuestra función es $(0, +\infty)$
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